Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác | Chân trời sáng tạo Toán lớp 10
Tài liệu chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 10.
Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 10 Chân trời sáng tạo word có lời giải chi tiết:
Bạn đang xem: Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác | Chân trời sáng tạo Toán lớp 10
B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 – NGUYEN THANH TUYEN – Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official – nhấn vào đây
Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu
Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác
Tài liệu gồm 4 Chuyên đề nhỏ, mời bạn đọc xem thử nội dung Chuyên đề Định lý sin, định lý cosin và giải tam giác :
Chuyên đề 2: ĐỊNH LÝ SIN, ĐỊNH LÝ COSIN VÀ GIẢI TAM GIÁC
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 1: Cho tam giác \[ABC\], mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\]. B. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\].
C. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos C\]. D. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos B\].
Lời giải
Chọn B
Theo định lý cosin trong tam giác \[ABC\], ta có \[{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\].
Câu 2: Cho tam giác \(ABC\), có độ dài ba cạnh là \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi \({m_a}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\), \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và \(S\) là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}\). B. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).
C. \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). D. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Lời giải
Chọn B
Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\)
Câu 3: Cho tam giác ABC có \(a = 8,b = 10\), góc \(C\) bằng \({60^0}\). Độ dài cạnh \(c\)là?
A. \(c = 3\sqrt {21} \). B. \(c = 7\sqrt 2 \). C. \(c = 2\sqrt {11} \). D. \(c = 2\sqrt {21} \).
Lời giải
Chọn D
Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} – 2a.b.\cos C = {8^2} + {10^2} – 2.8.10.\cos {60^0} = 84 \Rightarrow c = 2\sqrt {21} \).
Câu 4: Cho \(\Delta ABC\)có . Độ dài cạnh \(a\) là:
A. \(2\sqrt {13} .\) B. \(3\sqrt {12} .\) C. \(2\sqrt {37} .\) D. \(\sqrt {20} .\)
Lời giải
Chọn A
Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A = 36 + 64 – 2.6.8.\cos {60^0} = 52 \Rightarrow a = 2\sqrt {13} \).
Câu 5: Cho có \(B = {60^0},a = 8,c = 5.\) Độ dài cạnh \(b\) bằng:
A. \(7.\) B. \(129.\) C. \(49.\) D. \(\sqrt {129} \).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac\cos B = {8^2} + {5^2} – 2.8.5.\cos {60^0} = 49 \Rightarrow b = 7\).
Câu 6: Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 9\];\[BC = 8\];\[\widehat {\rm{B}} = {60^0}\]. Tính độ dài \[AC\].
A. \[\sqrt {73} \]. B. \[\sqrt {217} \]. C. \[8\]. D. \[\sqrt {113} \].
Lời giải
Chọn A
Theo định lý cosin có:
\[A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} – 2BA.BC.\cos \widehat {ABC} = 73\] \[ \Rightarrow AC = \sqrt {73} \].
Vậy \[AC = \sqrt {73} \].
Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 1\) và \(A = {60^0}.\) Tính độ dài cạnh \(BC.\)
A. \(BC = \sqrt 2 .\) B. \(BC = 1.\) C. \(BC = \sqrt 3 .\) D. \(BC = 2.\)
Lời giải
Chọn C
Theo định lý cosin ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos {{60}^0}} \)
\( = \sqrt {{2^2} + {1^2} – 2.2.1.\frac{1}{2}} \) \( = \sqrt 3 .\)
Câu 8: Tam giác \(ABC\) có \(a = 8,c = 3,\widehat B = {60^0}.\) Độ dài cạnh \(b\) bằng bao nhiêu?
A. \(49.\) B. \(\sqrt {97} \) C. \(7.\) D. \(\sqrt {61} .\)
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[{b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac\cos B = {8^2} + {3^2} – 2.8.3.\cos {60^0} = 49 \Rightarrow b = 7\].
Câu 9: Tam giác \[ABC\]có \[\widehat C = {150^0},\;BC = \sqrt 3 ,AC = 2.\] Tính cạnh \(AB\)?
A. \[\sqrt {13} \]. B. \[\sqrt 3 .\] C. \(10\). D. \(1\).
Lời giải
Chọn A
Theo định lí cosin trong \(\Delta ABC\)ta có:
\[A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} – 2CA.CB.\cos \widehat C\]\[ = 13\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {13} \]. Chọn A
Câu 10: Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\) cạnh của tam giác \(ABC\). Biết \(b = 7\);\(c = 5\);\(\cos A = \frac{4}{5}\). Tính độ dài của \(a\).
A. \(3\sqrt 2 \). B. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\). C. \(\frac{{23}}{8}\). D. \(6\).
Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\)ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A = {7^2} + {5^2} – 2.7.5.\frac{4}{5} = 18\).
Suy ra:\(a = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).
Câu 11: Cho \[\widehat {xOy} = 30^\circ \].Gọi \[A,\,B\] là 2 điểm di động lần lượt trên \[Ox,\,Oy\] sao cho \[AB = 2\]. Độ dài lớn nhất của \[OB\] bằng bao nhiêu?
A. 4. B. 3. C. 6. D. 2.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí cosin: \[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} – 2OA.OB.cos30^\circ \Leftrightarrow 4 = O{A^2} + O{B^2} – 2OA.OB.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow O{A^2} – \sqrt 3 .OB.OA + O{B^2} – 4 = 0\].
Coi phương trình là một phương trình bậc hai ẩn \[OA\]. Để tồn tại giá trị lớn nhất của \[OB\]
thì \[{\Delta _{(*)}} \ge 0 \Leftrightarrow {(\sqrt 3 OB)^2} – 4(O{B^2} – 4) \ge 0 \Leftrightarrow O{B^2} \le 16 \Leftrightarrow OB \le 4\].
Vậy \[\max OB = 4\].
Câu 12: Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\)cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. \({a^2} < ab + ac\). B. \({a^2} + {c^2} < {b^2} + 2ac\). C. \({b^2} + {c^2} > {a^2} + 2bc\). D. \(ab + bc > {b^2}\).
Lời giải
Chọn C
Do \({b^2} + {c^2} – {a^2} = 2bc.\cos \widehat A \le 2bc\)\( \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} \le {a^2} + 2bc\) nên mệnh đề C sai.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có \(a < b + c \Rightarrow {a^2} < ab + ac\);đáp án A đúng.
Tương tự \(a + c > b \Rightarrow ab + bc > {b^2}\);mệnh đề D đúng.
Ta có: \({a^2} + {c^2} – {b^2} = 2ac.\cos B < 2ac\)\( \Rightarrow {a^2} + {c^2} < {b^2} + 2ac\);mệnh đề B đúng.
Câu 13: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\)cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\)cm. Tính \(\cos A\).
A. \(\cos A = – \frac{2}{3}\). B. \(\cos A = \frac{1}{2}\). C. \(\cos A = \frac{1}{3}\). D. \(\cos A = \frac{2}{3}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {9^2} – {7^2}}}{{2.4.9}} = \frac{2}{3}\).
Câu 14: Cho tam giác \(ABC\) có \({a^2} + {b^2} – {c^2} > 0\). Khi đó:
A. Góc \(C > {90^0}\) B. Góc \(C < {90^0}\)
C. Góc \(C = {90^0}\) D. Không thể kết luận được gì về góc \(C.\)
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\).
Mà: \({a^2} + {b^2} – {c^2} > 0\) suy ra: \[\cos C > 0 \Rightarrow C < {90^0}\].
Câu 15: Cho tam giác \(ABC\) thoả mãn: \[{b^2} + {c^2} – {a^2} = \sqrt 3 bc\]. Khi đó:
A. \(A = {30^0}.\) B. \(A = {45^0}.\) C. \(A = {60^0}.\) D. \(A = {75^0}\).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 bc}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A = {30^0}.\)
Câu 16: Cho các điểm \(A(1;1),B(2;4),C(10; – 2).\) Góc \(\widehat {BAC}\) bằng bao nhiêu?
A. \({90^0}\). B. \({60^0}.\) C. \({45^0}.\) D. \({30^0}.\)
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;3)\), \(\overrightarrow {AC} = (9; – 3)\).
Suy ra: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0}.\)
Câu 17: Cho tam giác \(ABC\), biết \(a = 24,b = 13,c = 15.\) Tính góc \(A\)?
A. \({33^0}34’\,.\) B. \({117^0}49’\,.\) C. \({28^0}37′.\) D. \({58^0}24’\,.\)
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} – {{24}^2}}}{{2.13.15}} = – \frac{7}{{15}} \Rightarrow A \simeq {117^0}49’\,.\)
Câu 18: Cho tam giác \(ABC\), biết \(a = 13,b = 14,c = 15.\) Tính góc \(B\)?
A. \({59^0}49′.\) B. \({53^0}7′.\) C. \({59^0}29’\,.\) D. \({62^0}22′.\)
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} – {{14}^2}}}{{2.13.15}} = \frac{{33}}{{65}} \Rightarrow B \simeq {59^0}29’\,.\]
Câu 19: Cho tam giác \(ABC\) biết độ dài ba cạnh \(BC,{\rm{ }}CA,{\rm{ }}AB\) lần lượt là \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\)và thỏa mãn hệ thức \(b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} – {a^2}} \right)\) với \(b \ne c\). Khi đó, góc \(\widehat {BAC}\) bằng
A. \(45^\circ \). B. \(60^\circ \). C. \(90^\circ \). D. \(120^\circ \).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} – {a^2}} \right) \Leftrightarrow {b^3} – b{a^2} = {c^3} – c{a^2} \Leftrightarrow {b^3} – {c^3} – {a^2}\left( {b – c} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {b – c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2} – {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} = – bc\).
Mặt khác \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{ – bc}}{{2bc}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \).
Câu 20: Tam giác \[ABC\] có \[AB = c,\,\,BC = a,\,\,CA = b\]. Các cạnh \[a,\,\,b,\,\,c\] liên hệ với nhau bởi đẳng thức \[b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} – {c^2}} \right)\]. Khi đó góc \[\widehat {BAC}\] bằng bao nhiêu độ.
A. \(30^\circ \). B. \(60^\circ \). C. \(90^\circ \). D. \(45^\circ \).
Lời giải
Chọn B
Theo bài ra, ta có: \[b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} – {c^2}} \right) \Leftrightarrow {b^3} – {a^2}b = {a^2}c – {c^3} = 0 \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} – {a^2}b – {a^2}c = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} – bc + {c^2}} \right) – {a^2}\left( {b + c} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} – bc + {c^2} – {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} – bc + {c^2} – {a^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} = bc \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \].
Câu 21: [0H2-0.0-3] Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(M\) là điểm nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(MA:MB:MC = 1:2:3\) khi đó góc \[AMB\] bằng bao nhiêu?
A. \(135^\circ \). B. \(90^\circ \). C. \(150^\circ \). D. \(120^\circ \).
Lời giải
\(MB = x\)\( \Leftrightarrow MA = 2x\); \(MC = 3x\) với \(0 < x < BC = \sqrt 2 \).
Ta có \(\cos \widehat {BAM} = \frac{{1 + 4{x^2} – {x^2}}}{{2.1.2x}} = \frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}\)
\(\cos \widehat {MAC} = \frac{{1 + 4{x^2} – 9{x^2}}}{{4x}} = \frac{{1 – 5{x^2}}}{{4x}}\).
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 – 5{x^2}}}{{4x}}} \right)^2} = 1\)\( \Rightarrow 9{x^4} + 6{x^2} + 1 + 1 – 10{x^2} + 25{x^4} = 16\).
\( \Rightarrow 34{x^4} – 20{x^2} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{17}} > \frac{1}{5}(l)\\{x^2} = \frac{{5 – 2\sqrt 2 }}{{17}}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = \frac{{A{M^2} + B{M^2} – A{B^2}}}{{2AM.BM}}\)\( = \frac{{4{x^2} + {x^2} – 1}}{{2.2x.x}}\)
\( = \frac{{5{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\)\( = \left( {\frac{{25 – 10\sqrt 2 }}{{17}} – 1} \right):\frac{{20 – 8\sqrt 2 }}{{17}}\)\( = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\widehat {AMB} = 135^\circ \).
Câu 22: Cho tam giác \(ABC\), chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A. \[m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4}.\] B. \[m_a^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{b^2}}}{4}.\]
C. \[m_a^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \frac{{{c^2}}}{4}.\] D. \[m_a^2 = \frac{{2{c^2} + 2{b^2} – {a^2}}}{4}.\]
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}}}{4}.\)
Câu 23: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 9\) cm, \(BC = 15\)cm, \(AC = 12\)cm. Khi đó đường trung tuyến \(AM\) của tam giác có độ dài là
A. \(10{\rm{ cm}}\). B. \(9{\rm{ cm}}\). C. \(7,5{\rm{ cm}}\). D. \(8{\rm{ cm}}\).
Lời giải
Chọn C
Ta có \(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} – \frac{{B{C^2}}}{4}\)\( = \frac{{{9^2} + {{12}^2}}}{2} – \frac{{{{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}\)\( \Rightarrow AM = \frac{{15}}{2}\).
Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác | Chân trời sáng tạo Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.
Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/
Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập
