Học TậpLớp 10

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bạn đang xem: Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Video giải Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa

– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ AB và BC, kí hiệu là AC AB BC.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

 Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ ABa và BCbVectơ AB được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b. Vậy AC a + b.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:

a) OADC

b) BC OA

Hướng dẫn giải:

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.

 DC AB.

 OADC OAABOB.

b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)

 OACO.

 BC OABC CO BO.

1.2. Quy tắc hình bình hành

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+ADAC.

Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ADBC.

Suy ra: AB+ADABBCAC.

1.3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý abc ta có:

a b b a (tính chất giao hoán) ;

(a b) + c a + (b c) (tính chất kết hợp);

a 0 0 a a (tính chất của vectơ–không).

Chú ý: Tổng ba vectơ a b c được xác định theo một trong hai cách sau:

(a b) + c hoặc a + (b c).

Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) CD+EC+DA+BE BA.

b) ABCDEACB ED.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

CD+EC+DA+BE 

CD+DA+BE+EC              (áp dụng tính chất giao hoán)

CD+DA+BE+EC        (áp dụng tính chất kết hợp)

CA+BC  (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

BC+CA  (áp dụng tính chất giao hoán)

BA (áp dụng quy tắc cộng vectơ) (đpcm).

Vậy CD+EC+DA+BE BA.

b) Ta có:

ABCDEA

AC+CB+CD+ED+DA         (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

CB+ED+AC+CD+DA               (áp dụng tính chất giao hoán)

CB+ED+AC+CD+DA  (áp dụng tính chất kết hợp)

CB+ED+AD+DA             (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

CB+ED+AD+DA           (áp dụng tính chất kết hợp)

CB+ED+AA 

CB+ED+0      (vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ–không)

CB+ED            (áp dụng tính chất vectơ–không) (đpcm).

2. Hiệu của hai vectơ

2.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là –a. Hai vectơ a và –a được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.

Nhận xét:

+) a + (–a) = (–a) + a 0

+) Hai vectơ ab là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi a b 0.

+) Với hai điểm A, B, ta có: AB+BA=0.

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ AB và BA là hai vectơ đối nhau, tức là BA=AB.  

Chú ý:

– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+IB=0.

– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ ABAO.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

+ Vì BA=AB= AB và BA ngược hướng với  AB

 BA = –AB

Þ BA là vectơ đối của vectơ AB.

+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)

 AB=CD và CD ngược hướng với AB

 CD = –AB

Þ CD là vectơ đối của vectơ AB.

Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)

 AO ngược hướng với CO và AO=CO

 CO = –AO

Þ CO là vectơ đối của AO.

Vậy BACD là vectơ đối của vectơ AB và CO là vectơ đối của AO.

2.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu là a – b, là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b, tức là a – b a + (–b).

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: AB OBOA.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:

AB – AD DCBC

Hướng dẫn giải:

Ta có:

AB – AD DB             (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ) (1)

DCBC DC+BC DC+CB DB           (vectơ đối) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB – AD DCBC (đpcm).

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB+CB và CO+AD.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

 AB=DC

 AB+CB=DC+CB

Áp dụng quy tắc cộng hai vectơ ta có:

DC+CB=DB

Do đó, AB+CBDB.

Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

 CO=OA

 CO+AD=OA+AD

Áp dụng quy tắc công hai vectơ ta có:

OA+AD=OD

Vậy CO+AD OD.

Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác.

Tính độ dài vectơ GA+GB+GC.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

GA+GB+GC=0

 GA+GB+GC=0=0

Vậy độ dài vectơ GA+GB+GC là 0.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. CABA=BC;                                                     

B. AB+AC=BC;

C. AB+CA=CB;                                                     

D. ABBC=CA.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có CABA=CA+AB=CB=BC. Vậy A sai.

 Đáp án B sai vì AB+BC=ACBC=ACABAC+AB.

 Đáp án C. Ta có AB+CA=CA+AB=CB. Vậy C đúng.

Câu 2Cho 5 điểm bất kỳ A, B, C, D, E. Tính tổng CD+EC+DA+BE.

A. BC; 

B. CA;

C. EC;               

D. BA.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

CD+EC+DA+BE 

(CD+DA)+(BE+EC)         (tính chất giao hoán và kết hợp)

CA+BC          (quy tắc ba điểm)

BC+CA          (tính chất giao hoán)

BA.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó, OA+BO=?

A. OC+OB;

B. AB;

C. OC+DO;

D. CD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, O, B ta có:  OA+BO=BO+OA=BA.

Xét hình bình hành ABCD có: BA=CD

Vậy OA+BO=CD.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Khái niệm vectơ

Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài giảng Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Cánh diều

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button