Học TậpLớp 10

Lý thuyết Toán 10 Chương 4 (Cánh diều 2024): Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ hay, chi tiết

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Toán 10 Chương 4 (Cánh diều 2024): Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ hay, chi tiết

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Bạn đang xem: Lý thuyết Toán 10 Chương 4 (Cánh diều 2024): Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ hay, chi tiết

Video giải Toán 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1.1 Định nghĩa

       Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Với mỗi góc α (0  α  180°) ta xác định một điểm M (x0, y0) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM^= α. Khi đó ta có định nghĩa:

+) sin của góc α, kí hiệu là sinα, được xác định bởi: sinα = y0;

+) côsin của góc α, kí hiệu là cosα, được xác định bởi: cosα = x0;

+) tang của góc α, kí hiệu là tanα, được xác định bởi: tanα = y0x0(x0 ≠ 0);

+) côtang của góc α, kí hiệu là cotα, được xác định bởi: cotα = x0y0(y0 ≠ 0).

Các số sinαcosαtanαcotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Chú ý:

tanα = sinαcosα(α ≠ 90°);

cotα = cosαsinα(0 < α < 180°).

sin(90° – α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°);

cos(90° – α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°);

tan(90° – α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°).

1.2. Tính chất

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM^ = α thì xON^ = 180o – α. Với 0° ≤ α ≤ 180° thì:

sin(180° – α) = sinα,

cos(180° – α) = – cosα,

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°),

cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°).

1.3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác:

– Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

2. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a2 = b2 + c2 – 2bccosA,

b2 = c2 + a2 – 2cacosB,

c= a2 + b2 – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = b2+c2a22bc,

cosB = c2+a2b22ca,

cosC = a2+b2c22ab.

3. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

asinA=bsinB=csinC=2R

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

4. Tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S = 12bc.sinA = 12ca.sin = 12ab.sinC

Công thức Heron:

Công thức toán học Heron được sử dụng để tính diện tích của một tam giác theo độ dài ba cạnh như sau:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p=a+b+c2. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S=p(pa)(pb)(pc).

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC.

5. Vectơ

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là “vectơ AB. Để vẽ được vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Đối với vectơ AB, ta gọi:

– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ AB.

– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ AB, kí hiệu là AB.

Vectơ còn được kí hiệu là abxy khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a 

Ví dụ: Vectơ AB có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: AB = 5.

6. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa:

– Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

– Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

7. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ ABCD bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: AB=CD. 

Nhận xét:

– Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a = b.

– Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA=a. 

8. Vectơ–không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là 0 và được gọi là vectơ – không.

Định nghĩa: Vectơ–không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là 0

Ta quy ước 0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ và 0 = 0.

Nhận xét: Hai điểm A, B trùng nhau khi và chỉ khi AB0.

9. Tổng của hai vectơ

9.1. Định nghĩa

– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ AB và BC, kí hiệu là AC AB BC.

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

9.2. Quy tắc hình bình hành

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+ADAC.

9.3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý abc ta có:

a b b a (tính chất giao hoán) ;

(a b) + c a + (b c) (tính chất kết hợp);

a 0 0 a a (tính chất của vectơ–không).

Chú ý: Tổng ba vectơ a b c được xác định theo một trong hai cách sau:

(a b) + c hoặc a + (b c).

10. Hiệu của hai vectơ

10.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là –a. Hai vectơ a và –a được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.

Nhận xét:

+) a + (–a) = (–a) + a 0

+) Hai vectơ ab là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi a b 0.

+) Với hai điểm A, B, ta có: AB+BA=0.

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ AB và BA là hai vectơ đối nhau, tức là BA=AB.  

Chú ý:

– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+IB=0.

– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

10.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu là a – b, là tổng của vectơ avà vectơ đối của vectơ b, tức là a – b = a + (–b).

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: AB OBOA.

11. Tích của vectơ với một số

Cho một số k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0Tích của một số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka, được xác định như sau:

+ cùng hướng với a nếu k > 0ngược hướng với a nếu k < 0;

+ có độ dài bằng k.a

Quy ước: 0a = 0, k0 = 0

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Tính chất

Với hai vectơ bất kì ab và hai số thực h, k, ta có:

+) k(a b) = ka + kb; k(a – b) = ka – kb;

+) (h + k)a = ha + ka;

+) h(ka) = (hk)a;

+) 1a a; (–1)a = –a.

Nhận xét: ka 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a 0.

– Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA+MB=2MI với điểm M bất kì.

– Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA+MB+MC=3MG với điểm M bất kì.

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để a = kb.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để AB=kAC.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn c=xa+yb.

12. Tích vô hướng của hai vectơ

12.1. Tích vô hướng của hai vectơ có chung điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ OAOB là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là OA,OB

– Tích vô hướng của hai vectơ OA và OB là một số thực, kí hiệu là OA.OB, được xác định bởi công thức: OA.OB=OA.OB.cosOA,OB.

12.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ ab khác 0. Lấy một điểm O và vẽ vectơ OA=a,OB=b (Hình vẽ).

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

+ Góc giữa hai vectơ ab, kí hiệu a,b, là góc giữa hai vectơ OAOB.

+ Tích vô hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu a.b là tích vô hướng của hai vectơ OA và OB. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực được xác định bởi công thức: a.b a.b.cosa,b.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ 0 là số 0.

Chú ý:

+) a,b b,a

+) Nếu a,b = 90° thì ta nói hai vectơ ab vuông góc với nhau, kí hiệu a  b hoặc a  b. Khi đó a.b a.b.cos90°= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

12.3. Tính chất

Với hai vectơ bất kì ab và số thực k tùy ý, ta có:

+) a.b b.a (tính chất giao hoán);

+) a.b+c=a.b+a.c (tính chất phân phối);

+) kab=ka.b=a.kb;

+) a2 ≥ 0, a2 = 0  a 0.

Trong đó, kí hiệu a.a a2 và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: ABCD = 2MN.

Hướng dẫn giải:

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Ta có:

MN MA ABBN

MN MC CD DN

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

Suy ra:

MA+MC=0

BN+DN=0

 2MN MA ABBN MC CD DN

               MA+MC AB CD BN+DN

               0 AB CD 0

               AB CD (đpcm).

Bài 2. Một cây cột điện cao 20 m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc 17°. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tính chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

                          Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ với A, B lần lượt là điểm cuối dốc, chân của triền dốcC, D lần lượt là chân và đỉnh của cây cột điện.

Suy ra chiều dài của dây cáp là đoạn AD.

Theo bài ra ta có: CD = 20 m, AB = 72 mCAB^= 17°, ABD^= 90°.

ACB^= 180° – CAB^ – ABD^ = 180° – 17° – 90° = 73° (tổng ba góc một tam giác bằng 180°).

ACD^ = 180° – ACB^= 180° – 73° = 107°

Tam giác ABC vuông tại B  AC = ABcosCAB^72cos17°≈ 75,3 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD2 = AC2 + CD2 – 2AC.CD.cosACD^

         = (75,3)2 + 202 – 2.75,3.20.cos107° ≈ 6950,7

AD = 83,4m

Vậy chiều dài của dây cáp là 83,4m.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ ANMNAG qua các vectơ AB và AC.

Hướng dẫn giải:

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

+ Vì ABCD là hình bình hành nên BA CD

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

Mà CD và CN là hai vectơ cùng hướng.

 CD=2CN.

 CN=12CD  CN=12BA  CN=12AB

Suy ra:

AN AC CN AC – 12AB

+ Ta có: AB = 3AM  AM = 13AB

Mà AM và ABlà hai vectơ cùng hướng.

 AM=13AB  

 MA=13AB

 MN=MA+AN 13AB + (AC – 12AB) = 56AB+AC 

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

3AG=AM+AN+AB 13AB AC – 12AB AB56AB+AC

 AG=518AB+13AC

Vậy:

AN AC – 12AB

MN 56AB+AC

AG=518AB+13AC

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Có đường cao AH, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài vectơ GA+GB+GC.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

GA+GB+GC=0

 GA+GB+GC=0=0

Vậy độ dài vectơ GA+GB+GC là 0.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải:

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

MN=MA+AD+DN (1)

MN=MB+BC+CN (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

2MN=2MA+2AD+2DN (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

3MN=MB+BC+CN+2MA+2AD+2DN

 3MN=2MA+MB+2AD+BC+2DN+CN

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

 MA,MBvà DN,CN là hai cặp vectơ ngược hướng.

 Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

2MA+MB=0 

2DN+CN=0 

Suy ra:

3MN=2AD+BC

 MN=23AD+13BC (đpcm).

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác ABC, có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

A. 3;  

B. 6;

C. 7;  

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C là các vectơ: AB,BA,BC,CB,CA,AC. Vậy có 6 vectơ thỏa mãn.

Câu 2. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có BAD^=60°. Tính độ dài AC.

A. AC=3;      

B. AC=2;      

C. AC=23;    

D. AC = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Do ABCD là hình thoi, có BAD^=60°ABC^=120°.

Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC2=AB2+BC22.AB.BC.cosABC^

AC2=12+122.1.1.cos120°=3AC=3.

Câu 3. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM=2AB và 3DN=2DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD,  BC.

A. MN=13AD+13BC;                                   

B. MN=13AD23BC;

C. MN=13AD+23BC;                                  

D. MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Ta có: MN=MA+AD+DN và MN=MB+BC+CN. 

Suy ra 3MN=MA+AD+DN+2MB+BC+CN

    =MA+2MB+AD+2BC+DN+2CN.

Theo bài ra, ta có:

+) 3AM=2AB3AM=2AM+MB3AM=2AM+2MB

AM=2MB2MBAM=02MB+MA=0.

+) 3DN=2DC3DN=2(DN+NC)3DN=2DN+2NC

DN=2NCDN2NC=0DN+2CN=0

Vậy 3MN=AD+2BCMN=13AD+23BC.

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính BA.BC.

A. BA.BC=b2;  

B. BA.BC=c2; 

C. BA.BC=b2+c2;                      

D. BA.BC=b2c2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài tập cuối chương 4 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AB2+AC2=BC2

BC=AB2+AC2=c2+b2

Ta có: cosB = ABBC=cb2+c2

Lại có: cosB chính là cos BA,BC.

Do đó,

BA.BC=BA.BC.cosBA,BC=BA.BC.cosB^=c.b2+c2.cb2+c2=c2.

Câu 5. Tam giác ABC có AC=4, BAC^=30°, ACB^=75°. Tính diện tích tam giác ABC.

A. SΔABC=8;      

B. SΔABC=43

C. SΔABC=4;      

D. SΔABC=83.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ABC^=180°BAC^+ ACB^=75°= ACB^.

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 4.

Diện tích tam giác ABC là: SΔABC=12AB.ACsinBAC^=12.4.4.sin30°=4 (đvdt).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp

Lý thuyết Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Chương 3: Hàm số và đồ thị

Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Toán 10 Chương 4 (Cánh diều 2024): Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ hay, chi tiết
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button