Học TậpLớp 10

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bạn đang xem: Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Video giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ OAOB là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là OA,OB

– Tích vô hướng của hai vectơ OA và OB là một số thực, kí hiệu là OA.OB, được xác định bởi công thức: OA.OB=OA.OB.cosOA,OB.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a có đường cao AH. Tính tích vô hướng của AB.AC.

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì tam giác ABC đều nên BAC^ = 60°

 AB,AC BAC^ = 60°

Ta có:

AB.AC AB.AC.cosAB,AC

 AB.AC = AB.AC.cosBAC^ = AB.AC.cos60° = 2a.2a.12 = 2a2.

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ ab khác 0. Lấy một điểm O và vẽ vectơ OA=a,OB=b (Hình vẽ).

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

+ Góc giữa hai vectơ ab, kí hiệu a,b, là góc giữa hai vectơ OAOB.

+ Tích vô hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu a.b là tích vô hướng của hai vectơ OA và OB. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực được xác định bởi công thức: a.b a.b.cosa,b.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ 0 là số 0.

Chú ý:

+) a,b b,a

+) Nếu a,b = 90° thì ta nói hai vectơ ab vuông góc với nhau, kí hiệu a  b hoặc b  a. Khi đó a.b a.b.cos90°= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

Ví dụ: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng AB.AC,AC.CB.

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

+ Vì tam giác ABC vuông cân, mà AB = AC

 Tam giác ABC vuông cân tại A.

 AB  AC

 AB.AC AB.AC.cos90° AB.AC.0 = 0

+ Ta có: BC = AB2+AC2 a2+a2 = a2.

 AC.CB AC.CB.cosAC,CB = a. a2.cos135° = a. a2.22 = –a2.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì ab và số thực k tùy ý, ta có:

+) a.b b.a (tính chất giao hoán);

+) a.b+c=a.b+a.c (tính chất phân phối);

+) kab=ka.b=a.kb;

+) a2 ≥ 0, a2 = 0  a 0.

Trong đó, kí hiệu a.a a2 và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

AB.CD AB.CA+AD AB.CA+AB.AD (tính chất phân phối)

BC.AD BA+AC.AD BA.AD+AC.AD AB.AD+AC.AD (tính chất phân phối)

CA.BD  CA.BA+AD CA.BA+CA.AD CA.ABAC.AD (tính chất phân phối)

AB.CD+BC.AD+CA.BD

=AB.CA+AB.ADAB.AD+AC.ADCA.ABAC.AD

AB.CACA.AB+AB.ADAB.AD+AC.ADAC.AD (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 0

 AB.CD+BC.AD+CA.BD=0 (đpcm).

3. Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: AB2=AB2.

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = AB2

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét:

+ Cho hai vectơ bất kì a và b khác vectơ 0. Ta có: a.b = 0   a  b.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi AB.CD=0.+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi u.v=0, trong đó u ≠ 0, v ≠ 0, giá của vectơ u song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ v song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Ví dụ: Cho hai vectơ a và b vuông góc với nhau và a=1b=2. Chứng minh hai vectơ 2a – b và a b vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì a và b vuông góc với nhau  a.b = 0

Ta có:

2 aba+b 2a2+2a.ba.bb2 2a2+a.bb2 2a2+a.bb2

= 2.12 + 0 – 22 = 0

Vì tích của hai vectơ 2a – b và a b bằng 0 nên chúng vuông góc với nhau.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B và không thuộc AB, biết 4OM2 = AB2. Sử dụng các kiến thức về vectơ, chứng minh MA  MB.

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Ta có:

4OM2 = AB2  (2OM)2 = AB2

 2OM2= AB2

 MA+MB2=AM+MB2 

 MA2+2MA.MB+MB2=AM2+2AM.MB+MB2

 MA2+2MA.MB+MB2=AM2+2AM.MB+MB2

 MA2+2MA.MB+MB2=AM2+2AM.MB+MB2

 MA2+2MA.MB+MB2=AM22MA.MB+MB2

 4MA.MB=0

 MA.MB=0

 MAMB  MA  MB (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC bất kì có I là trung điểm của AB. Chứng minh đẳng thức:

CA2 + CB2 = 2CI2 + AB22.

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Ta có:

VP = 2CI2 + AB22

 2VP = 4CI2 + AB2

 2VP= (2CI)2 + AB2

 2VP =  2CI2+AB2

 2VP = CA+CB2+AC+CB2  

 2VP = CA2+2CA.CB+CB2+AC2+2AC.CB+CB2

 2VP = CA2+2CA.CB+CB2+AC22CA.CB+CB2

 2VP = 2CA2+2CB2

 2VP = 2CA2+2CB2= VT

 CA2 + CB2 = 2CI2 + AB22(đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, A^= 60°. Sử dụng các kiến thức về vectơ, tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Tích vô hướng của hai vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

BC=ACAB

 BC2=ACAB2AC22AC.AB+AB2

Ta có:

AC2=AC2= AC2 = (2a)2 = 4a2

AB2=AB2= AB2 = a2

AC.AB AC.AB.cosAC,AB = AC.AB.cosBAC^ = 2a.a.cos60° = 2.a.a.12 = a2

 BC2= 4a2 – 2a2 + a2 = 3a2

 BC2 = BC2 BC2= 3a2

 BC = 3a2a3.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho a và b khác vectơ 0. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi a.b=a.b.

A. α=180°;       

B. α=0°;           

C. α=90°;         

D. α=45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: a.b=a.b.cosa,b.

Mà theo giả thiết a.b=a.b, suy ra cosa,b=1a,b=180°. 

Câu 2Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC.

A. AB.AC=2a2;

B. AB.AC=a232; 

C. AB.AC=a22;                          

D. AB.AC=a22. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc AB,AC là góc A^ nên AB,AC=60° (do tam giác ABC đều)

Do đó AB.AC=AB.AC.cosAB,AC=a.a.cos60°=a22. 

Câu 3Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính AM.BC.

A. AM.BC=b2c22;                    

B. AM.BC=c2+b22;                    

C. AM.BC=c2+b2+a23;            

D. AM.BC=c2+b2a22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra AB+AC=2AM.

Khi đó AM.BC=12AB+AC.BC=12AB+AC.BA+AC 

=12AC+AB.ACAB=12AC2AB2=12AC2AB2=b2c22.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Lý thuyết Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Lý thuyết Bài 3: Tổ hợp

Bài giảng Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ – Cánh diều

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button