Học TậpLớp 10

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bạn đang xem: Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Video giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ – Cánh diều

A. Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0Tích của một số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka, được xác định như sau:

+ cùng hướng với a nếu k > 0ngược hướng với a nếu k < 0;

+ có độ dài bằng k.a

Quy ước: 0a = 0, k0 = 0

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Ví dụ: Cho G là trọng tâm của tam giác ABCD và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tìm mối quan hệ của GA và GD; mối quan hệ của AD và GD 

Hướng dẫn giải

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Khi đó ta có:

– Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên GA và GD là hai vectơ ngược hướng.

 GA = (–2)GD.

– Ta có: AD = 3GD.

Mà GD và AD là hai vectơ cùng hướng.

 AD= 3GD.

Ví dụ: Cho vectơ a có a= 4. Tìm số thực x sao cho vectơ xa có độ dài bằng 1 và cùng hướng với a.

Hướng dẫn giải:

Ta có: xa = 1  x.a = 1  x.4= 1

 x 14

Lại có vectơ xa cùng hướng với vectơ a nên x > 0

Suy ra x = 14.

Vậy x = 14 là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì ab và hai số thực h, k, ta có:

+) k(a b) = ka + kb; k(a – b) = ka – kb;

+) (h + k)a = ha + ka;

+) h(ka) = (hk)a;

+) 1a a; (–1)a = –a.

Nhận xét: ka 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a 0.

Ví dụ: Tính:

a) 5BC + 5CA;

b) 4AB + 6AB;

c) 4(2AB) + 2BC – 3AB.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA+MB=2MI với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên IA+IB 0

Suy ra:

MA+MB MI+IA+MI+IB 

MI+MI+IA+IB 2MI+IA+IB

2MI+0 2MI.

 MA+MB 2MI (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh MA+MB+MC+MD=2MN.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

MA+MC=0

MB+MD=2MN

 MA+MB+MC+MD MA+MC+MB+MD 0+2MN 2MN.

 MA+MB+MC+MD=2MN (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA+MB+MC=3MG với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: AA’+BB+CC=3GG.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

GA+GB+GC=0 và GA+GB+GC=0

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

AA=AG+GG+GA (1)

BB=BG+GG+GB (2)

CC=CG+GG+GC (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

AA’+BB+CC 3GG+AG+BG+CG+GA+GB+GC

3GG+GAGBGC+GA+GB+GC

3GGGA+GB+GC+GA+GB+GC

3GG+0+0 3GG

 AA’+BB+CC=3GG (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để a = kb.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để AB=kAC.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn c=xa+yb.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt a=ABb=AC. Dựng các điểm M, N sao cho AM=13ABCN=2BC.

a) Phân tích CMAN theo các vectơ a và b.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: MI=CM. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

a) Ta có:

+) CM CA+AM AC+13AB 13a – b.

+) Vì CN=2BC  CN = 2BC  BC = 13BN  BN = 3BC.

 BN=3BC.

 AN AB+BN AB+3BC AB+3ACAB AB+3AC3AB 

2AB+3AC = –2a + 3b.

b) Ta có:

AI AM+MI 13AB+CM 13a 13a – b 23a – b 132a+3b

 AI 13AN.

 I, A, N thẳng hàng.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ ANMNAG qua các vectơ AB và AC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

+ Vì ABCD là hình bình hành nên BA CD

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

Mà CD và CN là hai vectơ cùng hướng.

 CD=2CN.

 CN=12CD  CN=12BA  CN=12AB

Suy ra:

AN AC CN AC – 12AB

+ Ta có: AB = 3AM  AM = 13AB

Mà AM và ABlà hai vectơ cùng hướng.

 AM=13AB  

 MA=13AB

 MN=MA+AN 13AB + (AC – 12AB) = 56AB+AC 

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

3AG=AM+AN+AB 13AB AC – 12AB AB56AB+AC

 AG=518AB+13AC

Vậy:

AN AC – 12AB

MN 56AB+AC

AG=518AB+13AC

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

MN=MA+AD+DN (1)

MN=MB+BC+CN (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

2MN=2MA+2AD+2DN (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

3MN=MB+BC+CN+2MA+2AD+2DN

 3MN=2MA+MB+2AD+BC+2DN+CN

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

 MA,MBvà DN,CN là hai cặp vectơ ngược hướng.

 Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

2MA+MB=0 

2DN+CN=0 

Suy ra:

3MN=2AD+BC

 MN=23AD+13BC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức: MB=2MC;AN = 2NC.

Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Vì:

+) AN = 2NC

Nên AN = 2NC  CN = 13CA.

Mà CN và CA là hai vectơ cùng hướng.

 CN =13CA .

+) MB = 2MC  MB = 2MC  C là trung điểm của MB.

 MC = CB

Mà MC và CB là hai vectơ cùng hướng.

 MC=CB

 MN=MC+CN CB+13CA

 3MN=3CB+CA (1)

Ta lại có:

+) C là trung điểm của MB  MB=2CB

+) P là trung điểm của AB  BP=12BA

 MP=MB+BP 2CB+12BA 2CB+12CACB 

2CB+12CA12CB 32CB+12CA

 2MP=3CB+CA (2)

Từ (1) và (2) ta có:

3MN=2MP  MN=23MP

Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng (đpcm).

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. AI=14AB+AC;  

B. AI=14ABAC;  

C. AI=14AB+12AC;  

D. AI=14AB12AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì M là trung điểm BC nên AB+AC=2AM. (1)

Mặt khác I là trung điểm AM nên 2AI=AM. (2)

Từ (1), (2) suy ra AB+AC=4AIAI=14AB+AC.

Câu 2. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM=2AB và 3DN=2DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD,  BC.

A. MN=13AD+13BC;                                   

B. MN=13AD23BC;

C. MN=13AD+23BC;                                   

D. MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Ta có: MN=MA+AD+DN và MN=MB+BC+CN. 

Suy ra 3MN=MA+AD+DN+2MB+BC+CN

    =MA+2MB+AD+2BC+DN+2CN.

Theo bài ra, ta có:  

+) 3AM=2AB3AM=2AM+MB3AM=2AM+2MB

AM=2MB2MBAM=02MB+MA=0.

+)3DN=2DC3DN=2(DN+NC) 3DN=2DN+2NC

DN=2NCDN2NC=0DN+2CN=0.

Vậy 3MN=AD+2BCMN=13AD+23BC.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. DM=12CD+BC;   

B. DM=12CDBC;   

C. DM=12DCBC;   

D. DM=12DC+BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ DM theo hai vectơ DC và BC.

Vì ABCD là hình bình hành nên DB=DA+DC.

Và M là trung điểm AB nên 2DM=DA+DB

2DM=DA+DA+DC

2DM=2DA+DC.

2DM=2BC+DC  (do DA=BC)

Suy ra DM=12DCBC.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Lý thuyết Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài giảng Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ – Cánh diều

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button