Học TậpLớp 10

Lý thuyết Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bạn đang xem: Lý thuyết Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

A. Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

– Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Nhận xét:

+ Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; 1) và B(0; 4). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có AB=(02;41)=(2;3)

Vì đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là AB=(2;3).

Vậy vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB là AB(2;3).

– Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến n(a;b). Khi đó M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

– Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận n(a;b) là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận n(1;3) là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Điểm A(1; 2) thuộc ∆ và n(1;3) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình là: – 1(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay – x + 3y – 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là – x + 3y – 5 = 0.

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.

+ Nếu b = 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng x = m (với m = ca) và ∆ vuông góc với Ox.

+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = ab, p =cb ).

Ví dụ:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn 2x + 3 = 0, hay x = 32 .

b) Đường thẳng ∆: x + 4y – 2 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn x + 3y – 2 = 0, hay y=13x+23 .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Nhận xét:

+ Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì ku(k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Vectơ n(a;b) vuông góc với các vectơ và u(b;a)  v(b;a) nên nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì u, v là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(2; 1) và B(–2; 3). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có AB=(22;31)=(4;2)

Khi đó giá của vectơ AB trùng với đường thẳng AB nên đường thẳng AB nhận vectơ AB(4;2) là một vectơ chỉ phương.

Lấy n=(2;4) , khi đó n=(2;4) vuông góc với AB.

Do đó n=(2;4) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vậy AB(4;2) là vectơ chỉ phương, n=(2;4) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

– Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0; y0) và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ∆ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho AM=tu, hay x=x0+aty=y0+bt(2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương u(2;1).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương u(2;1) .

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:x=1+2ty=3t

B. Bài tập Phương trình đường thẳng

Bài 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(2; –2) và N(0; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có NM=(20;23)=(2;5)

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N có một vectơ chỉ phương là NM(2;5) .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm N(0 ; 3) có vectơ chỉ phương là NM(2;5) có phương trình tham số là x=2ty=35t

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N là x=2ty=35t:

Bài 2. Cho vectơ n(5;2) và điểm A( 12; 6). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến là .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(12 ; 6) có vectơ pháp tuyến n(5;2) .

Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là –5(x – 12 ) + 2(y – 6) = 0, hay –5x + 2y – 192 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: –5x + 2y –192 = 0.

Bài 3. Cho tam giác PQR có P(–4; 1), Q(1; 3), R(2; 5).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ R của tam giác PQR.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

a) Ta có PQ=(1+4;31)=(5;2)

Đường cao của tam giác PQR kẻ từ R là đường thẳng đi qua điểm R(2 ; 5) và vuông góc với PQ. Do đó, nó nhận vectơ PQ(5;2) là một vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của đường cao này là: 5(x – 2) + 2(y – 5) = 0, hay 5x + 2y – 20 = 0.

Vậy đường cao kẻ từ R của tam giác PQR có phương trình tổng quát là: 5x + 2y – 20 = 0.

b) Gọi I là trung điểm của QR. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

xI=xQ+xR2=1+22=32yI=yQ+yR2=3+52=4

Suy ra I(32 ; 4).

Ta có PI=(32+4;41)=(112;3)

Đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR chính là đường thẳng đi qua hai điểm P và I, tức là đường thẳng PI.

Do đó đường thẳng PI đi qua P(–4; 1), có một vectơ chỉ phương là PI(112;3).

Phương trình tham số của đương thẳng PI là x=4+112ty=1+3t: .

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR là: x=4+112ty=1+3t

Bài 4. Cho hai đường thẳng ∆1: –x + 4y – 1 = 0 và ∆2:x=2+2ty=1+5t

a) Viết phương trình tham số của ∆1.

b) Viết phương trình tổng quát của ∆2.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Bài 19: Phương trình đường thẳng

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 22: Ba đường conic

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button