Học TậpLớp 10

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Mời các em cùng theo dõi bài học hôm nay với tiêu đề
Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bạn đang xem: Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Video giải Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn – Cánh diều

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0, trong đó a, b, c là các số thực đã cho, ≠ 0.

– Đối với bất phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c < 0, mỗi số x0   sao cho ax02+bx0+c<0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn x23x+20 (1). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x = 2;                                     

b) x = 0;                                   

 c) x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Với x = 2, ta có: 22 – 3.2 + 2 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với x = 0, ta có: 02 – 3.0 + 2 = 2 > 0.Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với x = 3, ta có: 3– 3.3 + 3 > 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

2.1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

 f(x) > 0 (f(x) = ax+ bx + c)ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”.

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) x25x +4>0;

b) x23x+4>0.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai x25x +4>0 có hai nghiệm phân biệt x1=1x2=4 và có hệ số a = 1 > 0. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức x25x +4>0 mang dấu “+” là (;1)(4;+).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x25x +4>0 là (;1)(4;+).

b) Tam thức bậc hai x23x+4>0 có hai nghiệm x1=4,x2=1 và có hệ số a=1<0.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức x23x+4>0 mang dấu “+” là (– 4; 1).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x2 – 3x + 4 > 0 là (4; 1).

2.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax2 + bx + c nằm phía trên trục hoành.

– Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax2 + bx + c nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax+ bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y = ax2 + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối vổi các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ: Quan sát đồ thị và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a)  x23x+2<0                                         

 b)  x2+2x > 0

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Đồ thị y = x23x+2                                                                                    Đồ thị y = x2+2x

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị, ta thấy x23x+2<0 biểu diễn phần parabol y = x23x+2 nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình  x23x+2<0 là khoảng (1; 2).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy  x2+2x  > 0 biểu diễn phần parabol y = x2+2x nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình  x2+2x > 0  là khoảng (0 ; 2).

2.3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;…

Chúng ta sẽ làm quen với những ứng dụng đó qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 4: Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

x2+2x3<0 (3) và x24x+3<0 (4)

Hướng dẫn giải

Ta có: 3 3<x<1. Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S3= (−3 ; 1);

4 1<x<3. Tập nghiệm của bất phương trình (4) là S4= (1 ; 3).

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

S=S3S4=3;11;3=.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2x22+1x+1<0.

Hướng dẫn giải

Ta có: fx=2x22+1x+1=0x=22x=1.

Bảng xét dấu

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu fx<022<x<1.

Bài 2. Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình: x2xx7x6x1 trên đoạn 10;10.

Hướng dẫn giải

Bất phương trình: x2xx7x6x1

2xx27xx26x+6x6xx10;10x6;7;8;9;10.

Tổng tất cả các nghiệm là: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình: x2+6x+7 0 là:

A. ;17;+;                   

B. 1;7;          

C. ;71;+;                   

D. 7;1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) = x2+6x+7 =0x=7x=1.

Bảng xét dấu

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu x2+6x+7 01x7. 

Câu 2. Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x2x120 là?

A. 1;

B. 2;

C. 3;  

D. 4.  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có fx=x2x12=0x=4x=3.

Bảng xét dấu

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu fx03x4. Suy ra số thực dương x lớn nhất thỏa x2x120 là 4.

Câu 3Giải bất phương trình xx+52x2+2.

A. x1;             

B. 1x4;        

C. x;14;+;     

D. x4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình xx+52x2+2x2+5x2x2+4x25x+40

Xét phương trình x25x+4=0x1x4=0x=1x=4. 

Lập bảng xét dấu

x

 

1

 

4

 

+

x25x+4

 

+

0

0

+

 

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x25x+40x;14;+.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Lý thuyết Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài giảng Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn – Cánh diều

Trên đây là toàn bộ nội dung về bài học
Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 10
. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em hoàn thành tốt bài tập của mình.

Đăng bởi: https://thcslequydoncaugiay.edu.vn/

Chuyên mục: Tài Liệu Học Tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button